Question

【题目】在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是(0，4)、（－1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．

(1)若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；

(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；

(3)若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P、N、B、Q 构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2＋3x＋4；（2）△AMA′的面积最大S△AMA′＝8，M(2，6)；（3）当P1(0，4)，P2(3，4)，P3(,－4)，P4(，－4)时，P、N、B、Q构成平行四边形；当这个平行四边形为矩形时，N1(0，0)，N2(3，0).

【解析】

试题分析：（1）先由OA′＝OA得到点A′的坐标，再用点C、A、A′的坐标即可求此抛物线的解析式；（2）连接AA′, 过点M 作MN⊥x轴，交AA′于点N,把△AMA′分割为△AMN和△A′MN, △AMA′的面积＝△AMA′的面积＋△AMN的面积＝OA′MN,设点M的横坐标为x，借助抛物线的解析式和AA′的解析式，建立MN的长关于x的函数关系式，再据此建立△AMA′的面积关于x的二次函数关系式，再求△AMA′面积的最大值以及此时M的坐标；（3）在P、N、B、Q 这四个点中，B、Q 这两个点是固定点，因此可以考虑将BQ作为边、将BQ作为对角线分别构造符合题意的图形，再求解.

试题解析：(1)∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，点A的坐标是(0，4)，∴点A′的坐标为(4，0)，点B的坐标为(1，4).

∵抛物线过点C，A，A′，设抛物线的函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0),可得：

. 解得：.∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋3x＋4.

(2)连接AA′，设直线AA′的函数解析式为y＝kx＋b，可得

.解得：.

∴直线AA'的函数解析式是y＝－x＋4.

设M(x，－x2＋3x＋4)，

S△AMA′＝×4×[－x2＋3x＋4一(一x＋4)]＝一2x2＋8x＝一2(x－2)2＋8.

∴x＝2时，△AMA′的面积最大S△AMA′＝8．

∴M(2，6).

(3)设P点的坐标为（x，－x2＋3x＋4），当P、N、B、Q构成平行四边形时，

①当BQ为边时，PN∥BQ且PN＝BQ，

∵BQ＝4，∴一x2＋3x＋4＝±4.

当一x2＋3x＋4＝4时，x1＝0，x2＝3，即P1(0,4)，P2(3，4)；

当一x2＋3x＋4＝一4时，x3＝，x4＝，即P3(,－4)，P4(，－4)；

②当BQ为对角线时，PB∥x轴，即P1(0，4)，P2(3，4);

当这个平行四边形为矩形时，即Pl(0，4)，P2(3，4)时，N1(0，0)，N2(3，0).

综上所述，当P1(0，4)，P2(3，4)，P3(,－4)，P4(，－4)时，P、N、B、Q构成平行四边形；当这个平行四边形为矩形时，N1(0，0)，N2(3，0).