Question

【题目】如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；证明：

（1）CF=EB．
（2）AB=AF+2EB．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴DE=DC，

在Rt△CDF和Rt△EDB中，

，

∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．

∴CF=EB

（2）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴CD=DE．

在△ADC与△ADE中，

，

∴△ADC≌△ADE（HL），

∴AC=AE，

∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．

【解析】（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即CD=DE．再根据Rt△CDF≌Rt△EDB，得CF=EB；（2）利用角平分线性质证明∴△ADC≌△ADE，AC=AE，再将线段AB进行转化．