Question

【题目】如图，在矩形中， ， 的平分线交边于点， 于点，连接并延长交边于点，连接交于点.给出下列命题：①；②；③；④.其中正确命题为（　　）

A. ①② B. ①③

C. ①③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】在矩形ABCD中, ，

∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=45°，

∵AD⊥DE，∴△ADH是等腰直角三角形， ，∴AH=AB=CD.

∵△DEC是等腰直角三角形， ，∴AD=DE，∴∠AED=67.5°，

∴∠AEB=180°45°67.5°=67.5°，∴∠AED=∠AEB.

故①正确；

设DH=1，

则AH=DH=1, ， , ,故②错误；

∵∠AEH=67.5°，∴∠EAH=22.5°.

∵DH=CD,∠EDC=45°，∴∠DHC=67.5°，∴∠OHA=22.5°，

∴∠OAH=∠OHA，∴OA=OH，∴∠AEH=∠OHE=67.5°，∴OH=OE，

，故③正确；

∵AH=DH，CD=CE，

在△AFH与△CHE中，

∵∠AHF=∠HCE=22.5°,∠FAH=∠HEC=45°,AH=CE，∴△AFH≌△CHE，∴AF=EH.

在△ABE与△AHE中，

∵AB=AH,∠BEA=∠HEA,AE=AE，∴△ABE≌△AHE，∴BE=EH，

∴BCBF=(BE+CE)(ABAF)=(CD+EH)(CDEH)=2EH，

故④错误，

所以①，③正确，故选B