Question

【题目】如图所示，一个工人师傅要将一个正方形ABCD的余料，修剪成四边形ABEF的零件，其中CE=BC，F是CD的中点.

（1）若正方形的边长为a,试用含a的代数式表示AF2+EF2的值；

（2）连结AE，△AEF是直角三角形吗？为什么？（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）△AEF是直角三角形，理由见解析；

【解析】

（1）先连接AE，证明△ADF∽△FCE，得到∠AFE=90°，所以AF2+EF2=AE2=a2．

（2）由（1）的结论利用勾股定理逆定理，即可解答.

(1)连接AE，

则AB=a,BE=a，

∵∠B=90°，

∴AE2=a2；

∵CE:CF=DF:AD=1:2，

∠C=∠D=90°；

∴△ADF∽△FCE，

∴∠CFE+∠AFD=90°

∴∠AFE=90°

∴AF2+EF2=AE2=a2；

(2) △AEF是直角三角形，理由如下：

由(1)中可知AF2+EF2=AE2，

∴△AEF是直角三角形.