Question

【题目】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交⊙O于点E，∠ACB的平分线CF交⊙O于点F，BE和CF相交于点D，四边形AFDE是菱形吗？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】四边形AFDE是菱形．证明见解析.

【解析】试题分析：由AB＝AC，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，可证∠ABE＝∠EBC＝∠ACF＝∠FCB，再由圆周角定理的推论可证∠FAB＝∠ABE＝∠EAC＝∠ACF.从而可证四边形AFDE是平行四边形,再证AF＝AE,即证四边形AFDE是菱形.

解：四边形AFDE是菱形．

证明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB.

又∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，

∴∠ABE＝∠EBC＝∠ACF＝∠FCB.

∵∠FAB，∠FCB是同弧所对的圆周角，

∴∠FAB＝∠FCB，

同理∠EAC＝∠EBC.

∴∠FAB＝∠ABE＝∠EAC＝∠ACF.

∴AF∥ED，AE∥FD，

∴四边形AFDE是平行四边形．

∵∠ABE＝∠ACF，

∴＝，

∴AF＝AE.

∴四边形AFDE是菱形．