Question

【题目】如图，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD＝60°，点A的坐标为(－2，0)．

(1)求线段AD所在直线的表达式；

(2)动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒．求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切？

Answer 1

【答案】（1）；（2） t＝2，6，10或14.

【解析】解：⑴∵点A的坐标为(－2，0)，∠BAD=60°，∠AOD=90°，

∴OD=OA·tan60°=，

∴点D的坐标为（0，）， 1分

设直线AD的函数表达式为，

，解得，

∴直线AD的函数表达式为. 3分

⑵∵四边形ABCD是菱形，

∴∠DCB=∠BAD=60°，

∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，

AD=DC=CB=BA=4， 5分

如图所示：

①点P在AD上与AC相切时，

AP1=2r=2，

∴t1="2." 6分

②点P在DC上与AC相切时，

CP2=2r=2，

∴AD+DP2=6，

∴t2="6." 7分

③点P在BC上与AC相切时，

CP3=2r=2，

∴AD+DC+CP3=10，

∴t3="10. " 8分

④点P在AB上与AC相切时，

AP4=2r=2，

∴AD+DC+CB+BP4=14，

∴t4=14，

∴当t=2、6、10、14时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切. 9分