Question

【题目】如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，E为 的中点，连接DE，EB．
（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；
（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵CD是⊙O的切线，∴∠CDO=90°，∵∠BOD=60°，

∴∠C=30°，∠AOD=120°，

∵E为 的中点，

∴∠AOE=∠DOE=60°，

∴∠BOE=120°，

∵OE=OB，

∴∠OEB=∠OBE=30°，

∴∠C=∠OBE=∠E，

∴DE∥BC，BE∥CD，

∴四边形BCDE是平行四边形

（2）解：连接OE，由（1）知， ，

∴∠BOE=120°，

∵阴影部分面积为6π，

∴ =6π，

∴r=6．

【解析】（1）由∠BOD=60°E为 的中点，得到 ，于是得到DE∥BC，根据CD是⊙O的切线，得到OD⊥CD，于是得到BE∥CD，即可证得四边形BCDE是平行四边形；（2）连接OE，由（1）知， ，得到∠BOE=120°，根据扇形的面积公式列方程即可得到结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行四边形的判定的相关知识，掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，以及对切线的性质定理的理解，了解切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．