Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE、CF相交于点P．

（1）若∠ABC=70°，∠ACB=50°，则∠BPC=°；
（2）求证：∠BPC=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）；
（3）若∠A=α，求∠BPC的度数．

Answer 1

【答案】
（1）120
（2）解：证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BE、CF相交于点P，

∴∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB，

∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，

∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（ ∠ABC+ ∠ACB）=180°﹣ （∠ABC+∠ACB），

∴∠BPC=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）

（3）解：解：在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，

∵由（2）可知：∠BPC=180°﹣ ∠ABC+∠ACB），

∴∠BPC=180°﹣ （180°﹣∠A），

∵∠A=α，

∴∠BPC=180°= （180°﹣α）=90°+

【解析】

①根据已知条件求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠BPC+∠PCB,然后利用三角形的内角和等于180°列出计算.

②根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得出结论.

③根据三角形的内角和和角平分线的定义即可.

【考点精析】根据题目的已知条件，利用三角形的内角和外角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．