Question

【题目】如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心， AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连接AE、AD、DC．
（1）求证：D是 的中点；
（2）求证：∠DAO=∠B+∠BAD；
（3）若 ，且AC=4，求CF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AC是⊙O的直径，

∴∠AEC=90°，

∴AE⊥BC，

∵OD∥BC，

∴AE⊥OD，

∴D是 的中点；

（2）证明：

方法一：

如图，延长OD交AB于G，则OG∥BC，

∴∠AGD=∠B，

∵∠ADO=∠BAD+∠AGD，

又∵OA=OD，

∴∠DAO=∠ADO，

∴∠DAO=∠B+∠BAD；

方法二：

如图，延长AD交BC于H，

则∠ADO=∠AHC，

∵∠AHC=∠B+∠BAD，

∴∠ADO=∠B+∠BAD，

又∵OA=OD，

∴∠DAO=∠B+∠BAD；

（3）解：∵AO=OC，

∴S△OCD= S△ACD，

∵ ，

∴ ，

∵∠ACD=∠FCE，∠ADC=∠FEC=90°，

∴△ACD∽△FCE，

∴ ，

即： ，

∴CF=2．

【解析】（1）由AC是⊙O的直径，即可求得OD∥BC，又由AE⊥OD，即可证得D是 的中点；（2）首先延长OD交AB于G，则OG∥BC，可得OA=OD，根据等腰三角形的性质，即可求得∠DAO=∠B+∠BAD；（3）由AO=OC，S△OCD= S△ACD ， 即可得 ，又由△ACD∽△FCE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得CF的长．
【考点精析】解答此题的关键在于理解垂径定理的相关知识，掌握垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，以及对圆周角定理的理解，了解顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．