Question

【题目】如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．

（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AGAB=12，求AC的长；

（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：证明：连接CD，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD=90°，

∴∠CAD+∠ADC=90°，

又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA，

∴∠PAC=∠ADC，

∴∠CAD+∠PAC=90°，

∴PA⊥OA，而AD是⊙O的直径，

∴PA是⊙O的切线

（2）

解：由（1）知，PA⊥AD，又∵CF⊥AD，∴CF∥PA，

∴∠GCA=∠PAC，又∵∠PAC=∠PBA，

∴∠GCA=∠PBA，而∠CAG=∠BAC，

∴△CAG∽△BAC，

∴ = ，

即AC2=AGAB，

∵AGAB=12，

∴AC2=12，

∴AC=2

（3）

解：设AF=x，∵AF：FD=1：2，∴FD=2x，

∴AD=AF+FD=3x，

在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC2=AFAD，

即3x2=12，

解得；x=2，

∴AF=2，AD=6，∴⊙O半径为3，

在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1，

根据勾股定理得：AG= = = ，

由（2）知，AGAB=12，

∴AB= = ，

连接BD，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD=90°，

在Rt△ABD中，∵sin∠ADB= ，AD=6，

∴sin∠ADB= ，

∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，

∴sin∠ACE= ．

【解析】（1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案；（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC2=AGAB，求出AC即可；（3）先求出AF的长，根据勾股定理得：AG= ，即可得出sin∠ADB= ，利用∠ACE=∠ACB=∠ADB，求出即可．