Question

【题目】如图，反比例函数y= 的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y= 的图象上运动，tan∠CAB=2，则关于x的方程x2﹣5x+k=0的解为 ．

Answer 1

【答案】x1=﹣1，x2=6
【解析】解：连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，如图所示，
∵由直线AB与反比例函数y= 的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴AO=BO．
又∵AC=BC，
∴CO⊥AB．
∵∠AOE+∠AOF=90°，∠AOF+∠COF=90°，
∴∠AOE=∠COF，
又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，
∴△AOE∽△COF，
∴ ，
∵tan∠CAB= =2，
∴CF=2AE，OF=2OE．
又∵AEOE= ，CFOF=|k|，
∴k=±6．
∵点C在第二象限，
∴k=﹣6，
∴关于x的方程x2﹣5x+k=0可化为x2﹣5x﹣6=0，解得x1=﹣1，x2=6．
所以答案是：x1=﹣1，x2=6．
【考点精析】解答此题的关键在于理解解直角三角形的相关知识，掌握解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．