Question

【题目】菱形ABCD中,两条对角线AC、BD相交于点O,点E和点F分别是BC和CD上一动点,且∠EOF+∠BCD=180°，连接EF.

(1)如图2,当∠ABC=60°时，猜想三条线段CE、CF、AB之间的数量关系___；

(2)如图1,当∠ABC=90°时,若AC=4 ,BE=，求线段EF的长；

(3)如图3,当∠ABC=90°,将∠EOF的顶点移到AO上任意一点O′处,∠EO′F绕点O′旋转,仍满足∠EO′F+∠BCD=180°,O′E交BC的延长线一点E,射线O′F交CD的延长线上一点F,连接EF探究在整个运动变化过程中,线段CE、CF,O′C之间满足的数量关系，请直接写出你的结论.

Answer 1

【答案】（1）CE+CF=AB；（2）；（3）CFCE =O`C.

【解析】

（1）如图1中，连接EF，在CO上截取CN=CF，只要证明△OFN≌△EFC，即可推出CE+CF=OC，再证明OC= AB即可．

（2）先证明△OBE≌△OCF得到BE=CF，在Rt△CEF中，根据CE +CF=EF即可解决问题．

（3）结论：CF-CE=O`C，过点O`作O`H⊥AC交CF于H，只要证明△FO`H≌△EOC，推出FH=CE，再根据等腰直角三角形性质即可解决问题．

(1)结论CE+CF=AB.

理由：如图1中，连接EF，在CO上截取CN=CF.

∵∠EOF+∠ECF=180°，

∴O、E. C. F四点共圆,

∵∠ABC=60°，四边形ABCD是菱形，

∴∠BCD=180°∠ABC=120°，

∴∠ACB=∠ACD=60°，

∴∠OEF=∠OCF，∠OFE=∠OCE，

∴∠OEF=∠OFE=60°，

∴△OEF是等边三角形，

∴OF=FE，

∵CN=CF,∠FCN=60°，

∴△CFN是等边三角形，

∴FN=FC，∠OFE=∠CFN，

∴∠OFN=∠EFC，

在△OFN和△EFC中，

，

∴△OFN≌△EFC，

∴ON=EC，

∴CE+CF=CN+ON=OC，

∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°，

∴∠CBO=30°，AC⊥BD，

在RT△BOC中,∵∠BOC=90°,∠OBC=30°，

∴OC=BC=AB,

∴CE+CF=AB.

(2)连接EF

∵在菱形ABCD中∠ABC=90°，

∴菱形ABCD是正方形，

∴∠BOC=90°,OB=OC,AB=AC,∠OBE=∠OCF=45°,∠BCD=90°

∵∠EOF+∠BCD=180°，

∴∠EOF=90°，

∴∠BOE=∠COF

∴△OBE≌△OCF，

∴BE=CF，

∵BE=，

∴CF=，

在Rt△ABC中,AB+BC=AC,AC=4

∴BC=4，

∴CE= ，

在Rt△CEF中,CE+CF=EF，

∴EF=

答：线段EF的长为，

(3)结论：CFCE=O`C.

理由：过点O`作O`H⊥AC交CF于H，

∵∠O`CH=∠O`HC=45°，

∴O`H=O`C，

∵∠FO`E=∠HO`C,

∴∠FO`H=∠CO`E，

∵∠EO`F=∠ECF=90°，

∴O`.C. F. E四点共圆，

∴∠O`EF=∠OCF=45°，

∴∠O`FE=∠O`EF=45°，

∴O`E=O`F，

在△FO`H和△EO`C中，

，

∴△FO`H≌△EOC，

∴FH=CE，

∴CFCE=CFFH=CH=O`C.