Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．

（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为 ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵OA：OB=1：5，OB=OC，

设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，

由S△ABC= AB×OC=15，得 ×6m×5m=15，解得m=1（舍去负值），

∴A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5），

设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣5），将C点坐标代入，得a=1，

∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣5），

即y=x2﹣4x﹣5

（2）

解：设E点坐标为（n，n2﹣4n﹣5），抛物线对称轴为x=2，

由2（n﹣2）=EF，得2（n﹣2）=﹣（n2﹣4n﹣5）或2（n﹣2）=n2﹣4n﹣5，

解得n=1± 或n=3± ，

∵n＞0，

∴n=1+ 或n=3+ ，

边长EF=2（n﹣2）=2 ﹣2或2 +2

（3）

解：存在．

由（1）可知OB=OC=5，

∴△OBC为等腰直角三角形，即B（5，0），C（0，﹣5），

设直线BC解析式为y=kx+b，将B与C代入得： ，

解得： ，

则直线BC解析式为y=x﹣5，

依题意△MBC中BC边上的高为 ，

∴直线y=x+9或直线y=x﹣19与BC的距离为7 ，

联立 ， ，

解得 或 ，

∴M点的坐标为（﹣2，7），（7，16）．

【解析】（1）由已知设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，由S△ABC= AB×OC=15，可求m的值，确定A、B、C三点坐标，由A、B两点坐标设抛物线交点式，将C点坐标代入即可；（2）设E点坐标为（m，m2﹣4m﹣5），抛物线对称轴为x=2，根据2|m﹣2|=EF，列方程求解；（3）存在．因为OB=OC=5，△OBC为等腰直角三角形，直线BC解析式为y=x﹣5，则直线y=x+9或直线y=x﹣19与BC的距离为7 ，将直线解析式与抛物线解析式联立，求M点的坐标即可．
【考点精析】利用二次函数的图象和二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．