Question

【题目】如图，将矩形ABCD折叠，使点C与A点重合，折痕为EF．

（1）判断四边形AFCE的形状，并说明理由．
（2）若AB=4，BC=8，求折痕EF的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：四边形AFCE是菱形，

理由：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠EAO=∠FCO，

由折叠的性质可得：OA=OC，AE=CE，AF=CF，

在△OAE和△OCF中，

，

∴△AEO≌△CFO（AAS），

∴AE=CF，

∴AE=CE=CF=AF，

∴四边形AFCE是菱形

（2）解：连接AC交EF于点O，

由勾股定理知AC=4 ，

又∵折叠矩形使C与A重合时有EF⊥AC，

则Rt△EOC∽Rt△ABC，

∴ = = ，

∴OE= OC= ×2 ，

故EF=2OE=2 ．

【解析】（1）抓住已知条件，将矩形ABCD折叠，使点C与A点重合，根据矩形的性质和折叠的性质得出OA=OC，AE=CE，AF=CF，∠EAO=∠FCO，，再证明△AEO≌△CFO，从而得出AE=CF，即可证明四边形AFCE的四边相等，即可得出结论。
（2）根据勾股定理求出AC的长，再证明Rt△EOC∽Rt△ABC,根据相似三角形的对应边成比例，建立方程，求出OE的长，即可得到EF的长。
【考点精析】解答此题的关键在于理解菱形的判定方法的相关知识，掌握任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形，以及对矩形的性质的理解，了解矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．