Question

【题目】如图1，在直角坐标系中放入一个边长AB长为3，BC长为5的矩形纸片ABCD，使得BC、AB所在直线分别与x、y轴重合．将纸片沿着折痕AE翻折后，点D恰好落在x轴上，记为F．

（1）求折痕AE所在直线与x轴交点的坐标；

（2）如图2，过D作DG⊥AF，求DG的长度；

（3）将矩形ABCD水平向右移动n个单位，则点B坐标为（n，0），其中n＞0．如图3所示，连接OA，若△OAF是等腰三角形，试求点B的坐标．

Answer 1

【答案】（1）折痕AE所在直线与x轴交点的坐标为（9，0）；（2）3；（3）点B（4，0）或B（1，0）．

【解析】

（1）根据四边形ABCD是矩形以及由折叠对称性得出AF＝AD＝5，EF＝DE，进而求出BF的长，即可得出E点的坐标，进而得出AE所在直线与x轴交点的坐标；

（2）判断出△DAG≌△AFB，即可得出结论；

（3）分三种情况讨论：若AO＝AF，OF＝FA，AO＝OF，利用勾股定理求出即可.

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝CB＝5，AB＝DC＝3，∠D＝∠DCB＝∠ABC＝90°，

由折叠对称性：AF＝AD＝5，EF＝DE，

在Rt△ABF中，BF＝＝4，

∴CF＝1，

设EC＝x，则EF＝3﹣x，

在Rt△ECF中，12+x2＝（3﹣x）2，

解得：x＝，

∴E点坐标为：（5，），

∴设AE所在直线解析式为：y＝ax+b，

则，

解得：，

∴AE所在直线解析式为：y＝x+3，

当y＝0时，x＝9，

故折痕AE所在直线与x轴交点的坐标为：（9，0）；

（2）在△DAG和△AFB中

∵,

∴△DAG≌△AFB，

∴DG＝AB＝3；

（3）分三种情况讨论：

若AO＝AF，

∵AB⊥OF，

∴BO＝BF＝4，

∴n＝4，

∴B（4，0），

若OF＝FA，则n+4＝5，

解得：n＝1，

∴B（1，0），

若AO＝OF，

在Rt△AOB中，AO2＝OB2+AB2＝m2+9，

∴（n+4）2＝n2+9，

解得：n＝（n＜0不合题意舍去），

综上所述，若△OAF是等腰三角形，n的值为n＝4或1．

即点B（4，0）或B（1，0）．