Question

【题目】已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=（AD2+AB2），其中结论正确的个数是（　　）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形ACE全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE；

②由三角形ABD与三角形ACE全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE；

③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°；

④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．

解：如图：

①∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

即∠BAD=∠CAE，

∵在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD=CE，故①正确；

②∵△BAD≌△CAE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠ABD+∠DBC=45°，

∴∠ACE+∠DBC=45°，

∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，

则BD⊥CE，故②正确；

③∵△ABC为等腰直角三角形，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠ABD+∠DBC=45°，

∵∠ABD=∠ACE，

∴∠ACE+∠DBC=45°，故③正确；

④∵BD⊥CE，

∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：

BE2=BD2+DE2，

∵△ADE为等腰直角三角形，

∴DE=AD，

即DE2=2AD2，

∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2，

∴BE2≠AD2+AB2，故④错误，

综上，正确的个数为3个．

故选：C．