Question

【题目】已知一次函数y= kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点， 其中A点的横坐标与B点的纵坐标都是2，如图：

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）在y轴是否存在一点P使△OAP为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=-x-2；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）首先根据反比例函数解析式分别求出A、B两个点的坐标，再设一次函数解析式为一般形式，将两个点的坐标代入求出未知参数即可；（2）分三种情况，①OA=OP, ②OA=AP，③ OP=AP，结合圆对每个情况依次求解即可.

试题解析：

（1）反比例函数y=的图象经过A，B两点，且A点的横坐标与B点的纵坐标都是2；

∴当x=2时，y =－4；当y=2时，x=－4

∴A点的坐标为（2，－4），B点的坐标为（－4，2）；

∵y=kx+b（k≠0）经过A，B两点；

∴把A（2，－4），B（－4，2）代入y=kx+b（k≠0）得：

，

解得：k=－1，b=－2；

把k=－1，b=－2代入y=k x+b（k≠0）得：y=－x－2；

（2）OA==2，OB==2.

假设存在点P，使△OAP为等腰三角形，分三种情况，

OA=OP，以O为圆心，OA的长为半径画圆弧，与y轴的交点即为符合条件的点P，则P1(0， ) ， P2 (0， ) ；

OA=AP，以A为圆心，OA为半径画圆弧，与y轴的交点即为符合条件的点P，作AD⊥y轴交y轴与点D，

∴OD=DP3=4，

∴P3（0，－8）；

OP=AP，作OA的垂直平分线分别交y轴于点P4，交AO于点E，垂直平分线与y轴的交点即为符合条件的点P.

∴OE=，

∵cos∠EOP4==，

∴=，

∴OP4=，

∴P4 (0， ).