Question

【题目】已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，CD= BC，DE⊥CE，DE=CE，连接AE，点M是AE的中点．

（1）如图1，若点D在BC边上，连接CM，当AB=4时，求CM的长；
（2）如图2，若点D在△ABC的内部，连接BD，点N是BD中点，连接MN，NE，求证：MN⊥AE；
（3）如图3，将图2中的△CDE绕点C逆时针旋转，使∠BCD=30°，连接BD，点N是BD中点，连接MN，探索 的值并直接写出结果．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1中，

连接AD．

∵AB=AC=4，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACD=45°，BC= =4 ，

∵DC= BC=2 ，

∵ED=EC，∠DEC=90°，

∴DE=EC=2，∠DCE=∠EDC=45°，

∴∠ACE=90°，

在RT△ACE中，AE= = =2 ，

∵AM=ME，

∴CM= AE=

（2）

证明：如图2中，

延长DM到G使得MG=MD，连接AG、BG，延长ED交AB于F．

在△AMG和△EMD中，

，

∴△AMG≌△EMD，

∴AG=DE=EC，

∠MAG=∠MED，

∴EF∥AG，

∴∠BAG=∠BFE=180°﹣∠FBC﹣（90°﹣∠ECB）=45°+∠BCE=∠ACE，

在△ABG和△CAE中，

，

∴△ABG≌△CAE，

∴∠ABG=∠CAE，

∵∠CAE+∠BAE=90°，

∴∠ABG+∠BAE=90°，

∴∠AOB=90°，

∴BG⊥AE，

∵DN=NB，DM=MG，

∴MN∥BG，

∴MN⊥AE

（3）

解：如图3中，

延长DM到G使得MG=MD，连接AG、BG，延长AG、EC交于点F．

∵△AMG≌△EMD，

∴AG=DE=EC，∠GAM=∠DEM，

∴AG∥DE，

∴∠F=∠DEC=90°，

∵∠FAC+∠ACF=90°，∠BCD+∠ACF=90°，∠BCD=30°，

∴∠BAG=∠ACE=120°，

在△ABG和△CAE中，

，

∴△ABG≌△CAE，

∴BG=AE，

∵BN=ND，DM=MG，

∵BG=AE=2MN，

∴∠FAC=∠BCD=30°，设BC=2a，则CD=a，DE=EC= a，AC= a，CF= a，AF= a，EF= a，

∴AE= = a，

∴MN= a，

∴ = =

【解析】（1）先证明△ACE是直角三角形，根据CM= AE，求出AE即可解决问题．（2）如图2中，延长DM到G使得MG=MD，连接AG、BG，延长ED交AB于F，先证明△AMG≌△EMD，推出EF∥AG，再证明△ABG≌△CAE，得∠ABG=∠CAE，由此即可解决问题．（3）如图3中，延长DM到G使得MG=MD，连接AG、BG，延长AG、EC交于点F，先证明△ABG≌△CAE，得到BG=AE，设BC=2a，在RT△AEF中求出AE，根据中位线定理MN= BG= AE，由此即可解决问题．本题考查相似形综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，学会添加辅助线的方法，属于中考压轴题．
【考点精析】掌握勾股定理的概念和相似三角形的判定与性质是解答本题的根本，需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．