Question

【题目】如图，已知中，，，．如果点由出发沿方向点匀速运动，同时点由出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为（单位：）．解答下列问题：

当为何值时平行于；

当为何值时，与相似？

是否存在某时刻，使线段恰好把的周长平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．

是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）当时； 当为或时和相似； 不存在．理由见解析； 存在，当时，线段恰好把的面积平分．

【解析】

（1）可求得BC=6，且PB=AQ=2t，AP=10-2t，当PQ∥BC时，可得=，代入可得到关于t的方程，可求得t；

（2）分PQ⊥AC和PQ⊥AB，再利用相似得到对应线段的比相等，可得到关于t的方程，代入分别求得t即可；

（3）周长相等，即AP+AQ=PB+BC+CQ，代入可得到关于t的方程，可求得t的值；

（4）过P作PD⊥AC于点D，则PD∥BC，则=，可用t表示出PD，进一步可表示出其面积，令其为△ABC面积的一半即可，可求出t的值，注意结合t的取值范围进行取舍．

解:∵，，，

∴，

∵、的运动速度为，

∴，则，

当时，则，即，解得，

即当时；

∵为直角三角形，

∴当和相似时，必有一个角为直角，

当时，则，由可知，

当时，则，即，解得，

∴当为或时和相似；

不存在．理由如下：

当线段恰好把的周长平分时，则有，

即，整理得，显然不成立，

∴不存在使把周长平分的；

存在．

如图，过作于点，则，

∴，即，解得，

∴，

且，

当线段恰好把的面积平分时，则有，

即，整理可得，

解得（舍去）或，

∴当时，线段恰好把的面积平分．