Question

【题目】如图，已知半圆O，AB为直径，P为射线AB上一点，过点P作⊙O的切线，切点为C点，D为弧AC上一点，

连接BD、BC.

（1）求证：∠D=∠PCB；

（2）若四边形CDBP为平行四边形，求∠BPC度数；

（3）若AB=8，PB=2，求PC的长度.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）30°；(3)连接OC，PC=.

【解析】试题分析：（1）连接AC，OC，得∠OAC=∠OCA，由AB是直径得∠OCA+∠OCB=90°由圆周角推论可得∠A=∠CDB，由切线性质可得∠OCB+∠PCB=90°，从而可得答案；

（2）由四边形CDBP是平行四边形得∠D=∠P，又∠D=∠BCP，∠D=∠A，所以∠A=∠BCP=∠P，再由AB是直径得∠ACB=90°，然后再由三角形的内角和定理即可得解；

（3）由切线的性质得ΔOCP是直角三角形，再由勾股定理可求出PC的长.

试题解析：（1）如图，连接AC，OC

∴∠D=∠A

∵AB是圆O的直径

∴∠ACB=90°

∴∠ACO+∠OCB=90°

∵CP是切线

∴∠OCP=90°

∴∠OCB+∠PCB=90°

∴∠ACO=∠PCB

∵OA=OC

∴∠OAC=∠OCA

∴∠D=∠PCB;

(2)∵四边形CDBP是平行四边形

∴∠D=∠BPC

∴∠A=∠D=∠BPC=∠PCB

又∠A+∠ACB+∠BCP+∠BPC=180°,且∠ACB=90°

∴∠BPC=30°

(3)∵AB=8

∴OC=OB=4

在RtΔOCP中，OC=4，OP=OB+BP=4+2=6

∴PC=