Question

【题目】如图，已知抛物线m：y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点A在x轴上，并过点B（0，1），直线n：y=﹣ x+ 与x轴交于点D，与抛物线m的对称轴l交于点F，过B点的直线BE与直线n相交于点E（﹣7，7）．

（1）求抛物线m的解析式；
（2）P是l上的一个动点，若以B，E，P为顶点的三角形的周长最小，求点P的坐标；
（3）抛物线m上是否存在一动点Q，使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点A在x轴上,

∴配方得y=a（x﹣3）2﹣9a+1，则有﹣9a+1=0，解得a=

∴A点坐标为（3，0），抛物线m的解析式为y= x2﹣ x+1

（2）

解：∵点B关于对称轴直线x=3的对称点B′为（6，1）∴连接EB′交l于点P，如图所示

设直线EB′的解析式为y=kx+b，把（﹣7，7）（6，1）代入得

解得 ，

则函数解析式为y=﹣ x+

把x=3代入解得y= ，

∴点P坐标为（3， ）；

（3）

解：∵y=﹣ x+ 与x轴交于点D，

∴点D坐标为（7，0），

∵y=﹣ x+ 与抛物线m的对称轴l交于点F，

∴点F坐标为（3，2），

求得FD的直线解析式为y=﹣ x+ ，若以FQ为直径的圆经过点D，可得∠FDQ=90°，则DQ的直线解析式的k值为2，

设DQ的直线解析式为y=2x+b，把（7，0）代入解得b=﹣14，则DQ的直线解析式为y=2x﹣14，

设点Q的坐标为（a， ），把点Q代入y=2x﹣14得

=2a﹣14

解得a1=9，a2=15．

∴点Q坐标为（9，4）或（15，16）

【解析】（1）抛物线顶点在x轴上则可得出顶点纵坐标为0，将解析式进行配方就可以求出a的值，继而得出函数解析式；（2）利用轴对称求最短路径的方法，首先通过B点关于l的对称点B′来确定P点位置，再求出直线B′E的解析式，进而得出P点坐标；（3）可以先求出直线FD的解析式，结合以线段FQ为直径的圆恰好经过点D这个条件，明确∠FDG=90°，得出直线DG解析式的k值与直线FD解析式的k值乘积为﹣1，利用D点坐标求出直线DG解析式，将点Q坐标用抛物线解析式表示后代入DG直线解析式可求出点Q坐标．本题考查的知识点是二次函数性质、一次函数性质、轴对称性质，解题的关键是明确找线段和最小的点要通过轴对称性质找对称点，以线段FQ为直径的圆恰好经过点D则要转化为∠FDG=90°的条件来考虑．
【考点精析】本题主要考查了一次函数的性质和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．