Question

【题目】如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．

（1）已知BD= ，求正方形ABCD的边长；
（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴2AB2=BD2，

∵BD= ，

∴AB=1，

∴正方形ABCD的边长为1；

（2）

解：CN= CM．

证明：∵CF=CA，AF是∠ACF的平分线，

∴CE⊥AF，

∴∠AEN=∠CBN=90°，

∵∠ANE=∠CNB，

∴∠BAF=∠BCN，

在△ABF和△CBN中，

，

∴△ABF≌△CBN（AAS），

∴AF=CN，

∵∠BAF=∠BCN，∠ACN=∠BCN，

∴∠BAF=∠OCM，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，

∴∠ABF=∠COM=90°，

∴△ABF∽△COM，

∴ ，

∴ = ，

即CN= CM．

【解析】（1）根据正方形的性质以及勾股定理即可求得；（2）根据等腰三角形三线合一的性质证得CE⊥AF，进一步得出∠BAF=∠BCN，然后通过证得△ABF≌△CBN得出AF=CN，进而证得△ABF∽△COM，根据相似三角形的性质和正方形的性质即可证得CN= CM．本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．