Question

【题目】在正方形ABCD中，过点A引射线AH，交边CD于点H（点H与点D不重合），通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于点E，延长EG 交CD于点F.如图①，当点H与点C重合时，易证得FG=FD（不要求证明）;如图②，当点H为边CD上任意一点时，求证：FG=FD.

【应用】在图②中，已知AB=5，BE=3，则FD= ，△EFC的面积为 .(直接写结果)

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）应用： ；

【解析】试题分析：由折叠的性质可得AB=AG=AD，∠AGF=∠AGE=∠B=∠D=90°,再结合AF为△AGF和△ADF的公共边，从而证明△AGF≌△ADF，从而得出结论．

[应用]设FG=x，则FC=5-x，FE=3+x，在Rt△ECF中利用勾股定理可求出x的值，进而可得出答案．

试题解析：（1）由翻折得AB=AG,∠AGE=∠ABE=90°

∴∠AGF=90°

由正方形ABCD得 AB=AD

∴AG=AD

在Rt△AGF和Rt△ADF中，

∴Rt△AGF ≌ Rt△ADF

∴FG=FD

（2）[应用]设FG=x，则FC=5-x，FE=3+x，

在Rt△ECF中，EF2=FC2+EC2，即（3+x）2=（5-x）2+22，

解得x=.

即FG的长为．

由（1）得：FD=FG=，FC=5-=，BC=AB=5，BE=3

∴EC=5-3=2

∴ΔEFC的面积=