Question

【题目】设a,b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a,b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m.n]上的“闭函数”．如函数 ，当x=1时，y=3；当x=3时，y=1，即当 时，有 ，所以说函数 是闭区间[1,3]上的“闭函数”．
（1）反比例函数y= 是闭区间[1,2016]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若二次函数y= 是闭区间[1,2]上的“闭函数”，求k的值；
（3）若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的表达式（用含m，n的代数式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：反比例函数y= 是闭区间[1,2016]上的“闭函数”．

理由如下：

反比例函数y= 在第一象限，y随x的增大而减小，

当x=1时，y=2016； 当x=2016时，y=1，

即图象过点（1,2016）和（2016,1）

∴当1≤x≤2016时，有1≤y≤2016，符合闭函数的定义，

∴反比例函数y= 是闭区间[1，2016]上的“闭函数”

（2）解：由于二次函数 的图象开口向上，

对称轴为 ，

∴二次函数 在闭区间[1,2]内，y随x的增大而增大．

当x=1时，y=1，

∴k= ．

当x=2时，y=2，

∴k= ．

即图象过点（1,1）和（2,2）

∴当1≤x≤2时，有1≤y≤2，符合闭函数的定义，

∴k=

（3）解：因为一次函数 是闭区间 上的“闭函数”，

根据一次函数的图象与性质，有：

（Ⅰ）当 时，即图象过点（m,m）和（n,n）

，

解得 ．

∴

（Ⅱ）当 时，即图象过点（m,n）和（n,m）

，解得

∴ ，

∴一次函数的表达式为 或

【解析】（1）根据反比例函数y=在第一象限，y随x的增大而减小，当x=1时，y=2016；当x=2016时，y=1，即图象过点（1，2016）和（2016，1）；当1≤x≤2016时，有1≤y≤2016，符合闭函数的定义，得到反比例函数y=是闭区间[1，2016]上的“闭函数”；（2）由于二次函数 y=x22xk的图象开口向上，对称轴为，二次函数在闭区间[1，2]内，y随x的增大而增大；当x=1时，y=1，k= ；当x=2时，y=2，k= ；即图象过点（1，1）和（2，2）当1≤x≤2时，有1≤y≤2，符合闭函数的定义，求出k的值；（3）根据一次函数的图象与性质，当k＞0时，得到y=x；当k＜0时，得到y=-x+m+n，得到一次函数的表达式.