Question

【题目】如图，等边△ABC中，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q.

(1)求证：BP＝2PQ；

(2)若PE＝1，PQ＝3，试求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）7

【解析】试题分析：根据全等三角形的判定方法SAS可证得△BEC≌△ADB，根据各角的关系及三角形内角、外角和定理可证得，即可得结论．

由已知条件，先证明△ABE≌△CAD得，可得．即可求出的长．

试题解析：

AE=CD，AC=BC，

∴EC=BD；

∵△ABC为等边三角形，

在△BEC与△ADB中，

∴△BEC≌△ADB(SAS)，

∴∠EBC=∠BAD；

∵∠ABE+∠EBC=,则∠ABE+∠BAD=，

∵∠BPQ是△ABP外角，

∴∠ABP+∠BAP==∠BPQ，

又∵BQ⊥AD，

∴BP=2PQ.

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=；

又∵AE=CD，

在△ABE和△CAD中，

∴△ABE≌△CAD(SAS)；

∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；

∵BQ⊥AD，

，则

∵PQ=3，

∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；

又∵PE=1，

∴AD=BE=BP+PE=7.