Question

【题目】在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，过点作直线轴，垂足为，交线段于点.

（1）如图1，过点作，垂足为，连接.

①填空：的面积为______；②点为直线上一动点，当时，求点的坐标；

（2）如图2，点为线段延长线上一点，连接，，线段交于点，若，请直接写出点的坐标为______.

Answer 1

【答案】（1）①6；②的坐标为，；（2）.

【解析】

（1）①易证四边形AECO为矩形，则点B到AE的距离为OA，AE=OC=3，OA=CE=4，S△ABE=AEOA，即可得出结果；
②设点的坐标为，分两种情况: 点在点上方，连接,得=++=8,点在点的下方，得=8,分别列出方程解方程即可得出结果；
（2）由S△AOF=S△QBF，则S△AOB=S△QOB，△AOB与△QOB是以AB为同底的三角形，高分别为：OA、QC，得出OA=CQ，即可得出结果．

解：（1）①∵CD⊥x轴，AE⊥CD，
∴AE∥x轴，四边形AECO为矩形，点B到AE的距离为OA，
∵点A（0，4），点C（3，0），
∴AE=OC=3，OA=CE=4，
∴S△ABE=AEOA=×3×4=6，
故答案为：6；

②设点的坐标为.

（i）∵点坐标为，点坐标为，

∴.

∵，

∴.

∴点在点上方，连接（如图1）.根据题意得

∵，

∴，

∴，

∴.

∴当点的坐标为.

（ii）点在点的下方，连接（如图2）.

∵.

∴.

∴点在点的下方，根据题意得

∵，

∴，

∴，

∴.

∴当点的坐标为.

（2）（2）∵S△AOF=S△QBF，如图3所示：

∴S△AOB=S△QOB，
∵△AOB与△QOB是以AB为同底的三角形，高分别为：OA、QC，
∴OA=CQ，
∴点Q的坐标为（3，4），
故答案为：（3，4）．