Question

【题目】如图1，点A坐标为（2，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，点C为x轴上一动点，且在点A右侧，连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，连接AD交BC于E．

（1）①直接回答：△OBC与△ABD全等吗？
②试说明：无论点C如何移动，AD始终与OB平行；
（2）当点C运动到使AC2=AEAD时，如图2，经过O、B、C三点的抛物线为y1 ． 试问：y1上是否存在动点P，使△BEP为直角三角形且BE为直角边？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；

（3）在（2）的条件下，将y1沿x轴翻折得y2 ， 设y1与y2组成的图形为M，函数y= x+ m的图象l与M有公共点．试写出：l与M的公共点为3个时，m的取值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①△OBC与△ABD全等，

理由是：如图1，∵△OAB和△BCD是等边三角形，

∴∠OBA=∠CBD=60°，

OB=AB，BC=BD，

∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，

即∠OBC=∠ABD，

∴△OBC≌△ABD（SAS）；

②∵△OBC≌△ABD，

∴∠BAD=∠BOC=60°，

∴∠OBA=∠BAD，

∴OB∥AD，

∴无论点C如何移动，AD始终与OB平行

（2）

解：如图2，

∵AC2=AEAD，

∴ ，

∵∠EAC=∠DAC，

∴△AEC∽△ACD，

∴∠ECA=∠ADC，

∵∠BAD=∠BAO=60°，

∴∠DAC=60°，

∵∠BED=∠AEC，

∴∠ACB=∠ADB，

∴∠ADB=∠ADC，

∵BD=CD，

∴DE⊥BC，

Rt△ABE中，∠BAE=60°，

∴∠ABE=30°，

∴AE= AB= ×2=1，

Rt△AEC中，∠EAC=60°，

∴∠ECA=30°，

∴AC=2AE=2，

∴C（4，0），

等边△OAB中，过B作BH⊥x轴于H，

∴BH= = ，

∴B（1， ），

设y1的解析式为：y=ax（x﹣4），

把B（1， ）代入得： =a（1﹣4），

a=﹣ ，

∴设y1的解析式为：y1=﹣ x（x﹣4）=﹣ x2+ x，

过E作EG⊥x轴于G，

Rt△AGE中，AE=1，

∴AG= AE= ，

EG= = ，

∴E（ ， ），

设直线AE的解析式为：y=kx+b，

把A（2，0）和E（ ， ）代入得： ，

解得： ，

∴直线AE的解析式为：y= x﹣2 ，

则 ，

解得： ， ，

∴P（3， ）或（﹣2，﹣4 ）

（3）

解：如图3，

y1=﹣ x2+ x=﹣ （x﹣2）2+ ，

顶点（2， ），

∴抛物线y2的顶点为（2，﹣ ），

∴y2= （x﹣2）2﹣ ，

当m=0时，y= x与图形M两公共点，

当y2与l相切时，即有一个公共点，l与图形M有3个公共点，

则 ，

= ﹣ ，

x2﹣7x﹣3m=0，

△=（﹣7）2﹣4×1×（﹣3m）≥0，

m≥﹣ ，

∴当l与M的公共点为3个时，m的取值是：﹣ ≤m＜0．

【解析】（1）①利用等边三角形的性质证明△OBC≌△ABD；②证明∠OBA=∠BAD=60°，可得OB∥AD；（2）首先证明DE⊥BC，再求直线AE与抛物线的交点就是点P，所以分别求直线AE和抛物线y1的解析式组成方程组，求解即可；（3）先画出如图3，根据图形画出直线与图形M有个公共点时，两个边界的直线，上方到y= x，将y= x向下平移即可满足l与图形M有3个公共点，一直到直线l与y2相切为止，主要计算相切时，列方程组，确定△≥0时，m的值即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解确定一次函数的表达式的相关知识，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法，以及对等边三角形的性质的理解，了解等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°．