Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．
（1）求证：PQ是⊙O的切线；
（2）求证：BD2=ACBQ；
（3）若AC、BQ的长是关于x的方程x+ =m的两实根，且tan∠PCD= ，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PQ∥AB，

∴∠ABD=∠BDQ=∠ACD，

∵∠ACD=∠BCD，

∴∠BDQ=∠ACD，

如图1，连接OB，OD，交AB于E，

则∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，

在△OBD中，∠OBD+∠ODB+∠O=180°，

∴2∠ODB+2∠O=180°，

∴∠ODB+∠O=90°，

∴PQ是⊙O的切线

（2）证明：如图2，连接AD，

由（1）知PQ是⊙O的切线，

∴∠BDQ=∠DCB=∠ACD=∠BCD=∠BAD，

∴AD=BD，

∵∠DBQ=∠ACD，

∴△BDQ∽△ACD，

∴ = ，

∴BD2=ACBQ

（3）解：方程x+ =m可化为x2﹣mx+4=0，

∵AC、BQ的长是关于x的方程x+ =m的两实根，

∴ACBQ=4，由（2）得BD2=ACBQ，

∴BD2=4，

∴BD=2，

由（1）知PQ是⊙O的切线，

∴OD⊥PQ，

∵PQ∥AB，

∴OD⊥AB，由（1）得∠PCD=∠ABD，

∵tan∠PCD= ，

∴tan∠ABD= ，

∴BE=3DE，

∴DE2+（3DE）2=BD2=4，

∴DE= ，

∴BE= ，

设OB=OD=R，

∴OE=R﹣ ，

∵OB2=OE2+BE2，

∴R2=（R﹣ ）2+（ ）2，

解得：R=2 ，

∴⊙O的半径为2

【解析】（1）根据平行线的性质和圆周角定理得到∠ABD=∠BDQ=∠ACD，连接OB，OD，交AB于E，根据圆周角定理得到∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，根据三角形的内角和得到2∠ODB+2∠O=180°，于是得到∠ODB+∠O=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）证明：连接AD，根据等腰三角形的判定得到AD=BD，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）根据题意得到ACBQ=4，得到BD=2，由（1）知PQ是⊙O的切线，由切线的性质得到OD⊥PQ，根据平行线的性质得到OD⊥AB，根据三角函数的定义得到BE=3DE，根据勾股定理得到BE= ，设OB=OD=R，根据勾股定理即可得到结论．
【考点精析】关于本题考查的分式方程的解和圆周角定理，需要了解分式方程无解（转化成整式方程来解,产生了增根;转化的整式方程无解）；解的正负情况:先化为整式方程,求整式方程的解；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半才能得出正确答案．