Question

【题目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=2，现将一块三角板的直角顶点放在AB的中点D处，两直角边分别与直线AC，直线BC相交于点E，F，我们把DE⊥AC时的位置定为起始位置（如图1），将三角板绕点D顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°）．

（1）如图2，在旋转过程中，当点E在线段AC上时，试判别△DEF的形状，并说明理由；

（2）设直线ED交直线BC于点G，在旋转过程中，是否存在点G，使得△EFG为等腰三角形？若存在，求出CG的长，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）△DEF等腰直角三角形,理由见解析;（2）见解析.

【解析】

（1）连接CD，根据等腰直角三角形的性质得出CD平分∠C，CD⊥AB，进而证得△DCE≌△DFB，从而证得DE=DF，即可判定△DEF是等腰直角三角形．

（2）分三种情况分别讨论，可得出△EFG为等腰三角形时CG的长．

解：（1）△DEF等腰直角三角形．

证明：如图2，∵AC=BC，∠C=90°，D为AB中点，连接CD，

∴CD平分∠C，CD⊥AB，

∵∠DCB=∠B=45°，

∴CD=DB=1，

∵∠EDC+∠CDF=∠CDF+∠FDB=90°，

∴∠EDC=∠FDB，

在△DCE和△DFB中，

，

∴△DCE≌△DFB（ASA），

∴DE=DF，

∴△DEF是等腰直角三角形．

（2）如图3a，当G在线段CB延长线上时，

∵∠FGE＜45°，∠FEG=45°，∠EFG＞90°

∴△EFG不可能是等腰三角形；

如图3b，当G与C重合时，E与A重合，F与C重合，

此时FE=FG，CG=，

如图3c，当G在线段BC上时，

∵∠EGF＞45°，∠EFG＞45°，∠FEG=45°，

∴只能EF=EG，

∵EC⊥FG，

∴FC=CG，

∵∠EDF=90°，

∴∠FDG=90°，

∴DC=FG=CG，

∴CG=1；

综上，CG的值为或1．