Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，B'C与AD交于点E，AD的延长线与A'D'交于点F．

（1）如图①，当α=60°时，连接DD'，求DD'和A'F的长；

（2）如图②，当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时，求EF的长；
（3）如图③，当AE=EF时，连接AC，CF，求ACCF的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①如图①中，∵矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，

∴A′D′=AD=B′C=BC=4，CD′=CD=A′B′=AB=3∠A′D′C=∠ADC=90°，

∵α=60°，

∴∠DCD′=60°，

∴△CDD′是等边三角形，

∴DD′=CD=3．

②如图①中，连接CF．

∵CD=CD′，CF=CF，∠CDF=∠CD′F=90°，

∴△CDF≌△CD′F，

∴∠DCF=∠D′CF= ∠DCD′=30°，

在Rt△CD′F中，∵tan∠D′CF= ，

∴D′F= ，

∴A′F=A′D′﹣D′F=4﹣ ．

（2）

解：如图②中，

在Rt△A′CD′中，∵∠D′=90°，

∴A′C2=A′D′2+CD′2，

∴A′C=5，A′D=2，

∵∠DA′F=∠CA′D′，∠A′DF=∠D′=90°，

∴△A′DF∽△A′D′C，

∴ = ，

∴ = ，

∴DF= ，

同理可得△CDE∽△CB′A′，

∴ = ，

∴ = ，

∴ED= ，

∴EF=ED+DF= ．

（3）

解：如图③中，作FG⊥CB′于G．

∵四边形A′B′CD′是矩形，

∴GF=CD′=CD=3，

∵S△CEF= EFDC= CEFG，

∴CE=EF，∵AE=EF，

∴AE=EF=CE，

∴∠ACF=90°，

∵∠ADC=∠ACF，∠CAD=∠FAC，

∴△CAD∽△FAC，

∴ = ，

∴AC2=ADAF，

∴AF= ，

∵S△ACF= ACCF= AFCD，

∴ACCF=AFCD= ．

【解析】（1）①如图①中，∵矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，只要证明△CDD′是等边三角形即可解决问题；②如图①中，连接CF，在Rt△CD′F中，求出FD′即可解决问题；（2）由△A′DF∽△A′D′C，可得 = ，推出DF= ，同理可得△CDE∽△CB′A′，由 = ，求出DE，即可解决问题；（3）如图③中，作FG⊥CB′于G，由S△ACF= ACCF= AFCD，把问题转化为求AFCD，只要证明∠ACF=90°，证明△CAD∽△FAC，即可解决问题；
【考点精析】利用相似三角形的应用和旋转的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了．