Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线y=﹣x+n与该抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与x轴交于点F，且BE=4EC．
①求n的值；
②连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，△AGF与△CGD是否全等？请说明理由；
（3）直线y=m（m＞0）与该抛物线的交点为M，N（点M在点N的左侧），点 M关于y轴的对称点为点M'，点H的坐标为（1，0）．若四边形OM'NH的面积为 ．求点H到OM'的距离d的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，

∴ ，解得 ，

∴该抛物线的解析式y= x2﹣ x﹣3；

（2）

解：①如图，过点E作EE'⊥x轴于E'，则EE'∥OC，

∴ = ，

∵BE=4EC，

∴BE'=4OE'，

设点E的坐标为（x，y），则OE'=x，BE'=4x，

∵B（2，0），

∴OB=2，即x+4x=2，

∴x= ，

∵抛物线y= x2﹣ x﹣3与y轴交于点C，

∴C（0，﹣3），

设直线BC的解析式为y=kx+b'，

∵B（2，0），C（0，﹣3），

∴ ，解得 ，

∴直线BC的解析式为y= x﹣3，

当x= 时，y=﹣ ，

∴E（ ，﹣ ），

把E的坐标代入直线y=﹣x+n，可得﹣ +n=﹣ ，

解得n=﹣2；

②△AGF与△CGD全等．理由如下：

∵直线EF的解析式为y=﹣x﹣2，

∴当y=0时，x=﹣2，

∴F（﹣2，0），OF=2，

∵A（﹣1，0），

∴OA=1，

∴AF=2﹣1=1，

由 解得 ， ，

∵点D在第四象限，

∴点D的坐标为（1，﹣3），

∵点C的坐标为（0，﹣3），

∴CD∥x轴，CD=1，

∴∠AFG=∠CDG，∠FAG=∠DCG，

∴△AGF≌△CGD；

（3）

解：∵抛物线的对称轴为x=﹣ = ，直线y=m（m＞0）与该抛物线的交点为M，N，

∴点M、N关于直线x= 对称，

设N（t，m），则M（1﹣t，m），

∵点 M关于y轴的对称点为点M'，

∴M'（t﹣1，m），

∴点M'在直线y=m上，

∴M'N∥x轴，

∴M'N=t﹣（t﹣1）=1，

∵H（1，0），

∴OH=1=M'N，

∴四边形OM'NH是平行四边形，

设直线y=m与y轴交于点P，

∵四边形OM'NH的面积为 ，

∴OH×OP=1×m= ，即m= ，

∴OP= ，

当 x2﹣ x﹣3= 时，解得x1=﹣ ，x2= ，

∴点M的坐标为（﹣ ， ），

∴M'（ ， ），即PM'= ，

∴Rt△OPM'中，OM'= = ，

∵四边形OM'NH的面积为 ，

∴OM'×d= ，

∴d= ．

【解析】（1）根据抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，可得抛物线的解析式；（2）①过点E作EE'⊥x轴于E'，则EE'∥OC，根据平行线分线段成比例定理，可得BE'=4OE'，设点E的坐标为（x，y），则OE'=x，BE'=4x，根据OB=2，可得x= ，再根据直线BC的解析式为y= x﹣3，即可得到E（ ，﹣ ），把E的坐标代入直线y=﹣x+n，可得n的值；②根据F（﹣2，0），A（﹣1，0），可得AF=1，再根据点D的坐标为（1，﹣3），点C的坐标为（0，﹣3），可得CD∥x轴，CD=1，再根据∠AFG=∠CDG，∠FAG=∠DCG，即可判定△AGF≌△CGD；（3）根据轴对称的性质得出OH=1=M'N，进而判定四边形OM'NH是平行四边形，再根据四边形OM'NH的面积为 ，求得OP= ，再根据点M的坐标为（﹣ ， ），得到PM'= ，Rt△OPM'中，运用勾股定理可得OM'= ，最后根据OM'×d= ，即可得到d= ．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．