Question

【题目】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：

将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2.

证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a，

∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC= 12 b2+ 12 ab．

又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB= 12 c2+ 12 a（b﹣a）

∴ 12 b2+ 12 ab= 12 c2+ 12 a（b﹣a）

∴a2+b2=c2

请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．

将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2 ．

Answer 1

【答案】证明见解析.

【解析】试题分析：首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，表示出S五边形ACBED ，两者相等，整理即可得证．

试题解析：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，

∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+ b2+ ab，

又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE= ab+ c2+ a（b﹣a），

∴ab+b2+ ab= ab+c2+a（b﹣a），

∴a2+b2=c2 ．