Question

【题目】如图,△ABC和△DEF都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合。将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，射线EF与线段AB相交于点G，与射线CA相交于点Q.

(1)求证：△BPE∽△CEQ；

(2)求证：DP平分∠BPQ；

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）由△ABC和△DEF是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP=∠EQC，则可证得△BPE∽△CEQ；

（2）首先证明△BPE∽△EPQ，推出∠BPE=∠EPQ，即可得到∠DPB=∠DPQ，问题得证.

(1)∵△ABC和△DEF是等腰直角三角形,

∴∠B=∠C=∠DEF=45°，

∵∠BEQ=∠EQC+∠C，

即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，

∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，

∴∠BEP=∠EQC，

∵∠B=∠C=45°，

∴△BPE∽△CEQ，

(2)∵△BPE∽△CEQ，

∴，

∵CE=BE，

∴ ，

∵∠B=∠DEF=45°，

∴△BPE∽△EPQ，

∴∠BPE=∠EPQ，

∴∠DPB=∠DPQ，

∴DP平分∠BPQ.