Question

【题目】如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上（E不与A、B重合），连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是 ( )

①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③；④∠DFE=4∠AEF．

A. ①②③④ B. ①②③ C. ①② D. ①②④

Answer 1

【答案】B

【解析】分析：分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．

详解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD．

∵在ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF．

∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故①正确；

延长EF，交CD延长线于M．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF．

∵F为AD中点，∴AF=FD．在△AEF和△DFM中， ，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M．

∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°．

∵FM=EF，∴EF=CF，故②正确；

③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM．

∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC

故③正确；

④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x．

∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故④错误．

故答案为：①②③．