Question

【题目】如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y= x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y= x2+bx+c交于第四象限的F点．

（1）求该抛物线解析式与F点坐标；
（2）如图（2），动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒 个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒

①问EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．
②若△PMH是等腰三角形，请直接写出此时t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵矩形ABCO，B点坐标为（4，3）

∴C点坐标为（0，3）

∵抛物线y= x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，

∴ ，

解得： ，

∴该抛物线解析式y=﹣ x2+2x+3，

设直线AD的解析式为y=k1x+b1

∵A（4，0）、D（2，3），

∴ ∴ ，

∴ ，

联立 ，

∵F点在第四象限，

∴F（6，﹣3）；

（2）

解：①∵E（0，6），∴CE=CO，（如图（1）），

连接CF交x轴于H′，过H′作BC的垂线交BC于P′，当P

运动到P′，当H运动到H′时，EP+PH+HF的值最小．

设直线CF的解析式为y=k2x+b2

∵C（0，3）、F（6，﹣3），

∴ ，

解得： ，

∴y=﹣x+3

当y=0时，x=3，

∴H′（3，0），

∴CP=3，∴t=3；

②如图1过M作MN⊥OA交OA于N，

∵△AMN∽△AEO，

∴ ，

∴ ，

∴AN=t，MN= ，

I如图3，当PM=HM时，M在PH的垂直平分线上，

∴MN= PH，

∴MN= ，

∴t=1；

II如图1，当HM=HP时，MH=3，MN= ，

HN=OA﹣AN﹣OH=4﹣2t 在Rt△HMN中，MN2+HN2=MH2，

∴ ，

即25t2﹣64t+28=0，

解得：t1=2（舍去）， ；

III如图2，图4，当PH=PM时，

∵PM=3，MT= ，PT=BC﹣CP﹣BT=|4﹣2t|，

∴在Rt△PMT中，MT2+PT2=PM2，

即 ，

∴25t2﹣100t+64=0，

解得： ，

综上所述： ， ，1， ．

【解析】（1）由矩形的性质可求出C点的坐标，把B和C点的坐标代入y= x2+bx+c求出b和c的值即可该抛物线解析式；设直线AD的解析式为y=k1x+b1把A（4，0）、D（2，3）代入求出一次函数的解析式，再联立二次函数和一次函数的解析式即可求出F点的坐标；（2）①连接CF交x轴于H′，过H′作BC的垂线交BC于P′，当P运动到P′，当H运动到H′时，EP+PH+HF的值最小；②过M作MN⊥OA交OA于N，再分别讨论当PM=HM时，M在PH的垂直平分线上，当PH=PM时，求出符合题意的t值即可．
【考点精析】通过灵活运用相似三角形的性质，掌握对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形即可以解答此题．