Question

【题目】我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4 与x轴、y轴分别交于A，B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（ ）

A.6
B.8
C.10
D.12

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵直线l：y=kx+4 与x轴、y轴分别交于A、B，

∴B（0，4 ），

∴OB=4 ，

在RT△AOB中，∠OAB=30°，

∴OA= OB= × =12，

∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，

∴PM= PA，

设P（x，0），

∴PA=12﹣x，

∴⊙P的半径PM= PA=6﹣ x，

∵x为整数，PM为整数，

∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数，

∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．

故答案为：A．

根据直线AB的解析式求得OB的长，进而就可求得OA的长，根据切线的性质求得PM⊥AB，根据∠OAB=30°，求得PM与PA的数量关系， 然后根据“整圆”的定义，即可求得使得⊙P成为整圆的点P的坐标，从而求得点P个数．