Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D，与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），OB=OC=3OA．

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如图，若点G（2，m）是该抛物线上一点，E是直线AG下方抛物线上的一动点，当点E运动到什么位置时，△AEG的面积最大？求此时点E的坐标和△AEG的最大面积；
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由已知得：C（0，﹣3），A（﹣1，0）

将A、B、C三点的坐标代入得

解得：

所以这个二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：当x=2时，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，即G（2，﹣3），

设AG的解析式为y=kx+b，将A、G代入函数解析式，得

，解得 ，

直线AG的解析式为y=﹣x﹣1．

过E作EF⊥x轴交AG于，F如图1

，

E在抛物线上，F在直线AG上，

设E点坐标为（n，n2﹣2n﹣3），F（n，﹣n﹣1），

EF=（﹣n﹣1）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+n+2

S= EF（G﹣xA）= ×（﹣n2+n+2）[2﹣（﹣1）]

=﹣ （n﹣ ）2+ ，

当n= 时，S最大值是 ，

n2﹣2n﹣3=﹣ ，即E（ ，﹣ ）

（3）

解：如图2

，

① 当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），则N（R+1，R），

代入抛物线的表达式，解得R= ；

②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），则N（r+1，﹣r），

代入抛物线的表达式，解得r= ，

∴圆的半径为 或

【解析】（1）根据已知条件，易求得C、A的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）可分别过E、G作x轴的垂线，设垂足为F、H；那么△AGE的面积=△AEF的面积+四边形FHGE的面积﹣△AGH的面积，设出E点的坐标，即可表示出F点坐标及EF的长，根据上面所得出的面积计算方法，可得出关于△AGE的面积与E点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质，即可求出△AGE的最大面积及对应的E点坐标；（3）根据抛物线和圆的对称性，知圆心必在抛物线的对称轴上，由于该圆与x轴相切，可用圆的半径表示出M、N的坐标，将其入抛物线的解析式中，即可求出圆的半径；（需注意的是圆心可能在x轴上方，也可能在x轴下方，需要分类讨论）
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．