Question

【题目】已知抛物线：y＝a(x－m)2－a(x－m)（a、m为常数，且a≠0）．

（1）求证：不论a与m为何值，该抛物线与x轴总有两个公共点；

（2）设该抛物线与x轴相交于A、B两点，则线段AB的长度是否与a、m的大小有关系？若无关系，求出它的长度；若有关系，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C，当△ABC的面积等于1时，求a的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）±8

【解析】（1）通过提公因式法，对函数的解析式变形，然后构成方程求解出交点的坐标即可；

（2）根据第一问的交点坐标得到AB的长，判断出AB的长与a、m无关；

（3）通过配方法得到函数的顶点式，然后根据三角形的面积公式求解即可.

（1）由y＝a(x－m)2－a(x－m)＝a(x－m)( x－m－1)，得抛物线与x轴的交点坐标为(m,0)和(m＋1,0)．因此不论a与m为何值，该抛物线与x轴总有两个公共点．（也可用判别式Δ做）

（2）线段AB的长度与a、m的大小无关。由（1）知：A、B两点坐标分别为(m,0)、(m＋1,0)，因此AB的长度是1。

（3）由y＝a(x－m)2－a(x－m)=，得抛物线的顶点为，

因为AB＝1，S△ABC＝，a＝±8．