Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD之间的位置关系为 ， 数量关系为 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如图4，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．且AC=4 ，BC=3，∠BCA=45°，正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）CF⊥BD,CF=BD,解：成立,理由如下：∵∠FAD=∠BAC=90°,∴∠BAD=∠CAF在△BAD与△CAF中, ．∴△BAD≌△CAF,∴CF=BD,∠ACF=∠ACB=45°,∴∠BCF=90°∴CF⊥BD；
（2）解：如图，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，

则∠GAC=90°，

∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，

∴∠AGC=90°﹣45°=45°，

∴∠ACB=∠AGC=45°，

∴AC=AG，

在△GAD与△CAF中， ，

∴△GAD≌△CAF，

∴∠ACF=∠AGC=45°，

∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，

即CF⊥BC．

过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，

∵DE与CF交于点P时，此时点D位于线段CQ上，

∵∠BCA=45°，AC=4 ，

∴由勾股定理得AQ=CQ=4．

设CD=x，

∴DQ=4﹣x，

∵∠ADB+∠ADE+∠PDC=180°

且∠ADE=90°，

∴∠ADQ+∠PDC=90°，

又∵在Rt△PCD中，∠PDC+∠DPC=90°

∴∠ADQ=∠DPC，

∵∠AQD=∠DCP=90°

∴△AQD∽△DCP，

∴ ，

∴ ．

∴CP=﹣ x2+x=﹣ （x﹣2）2+1．

∴当x=2时，CP有最大值1．

【解析】解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△DAB与△FAC中， ，

∴△DAB≌△FAC，

∴CF=BD，∠B=∠ACF，

∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；

所以答案是：CF⊥BD，CF=BD；

【考点精析】关于本题考查的勾股定理的概念和正方形的性质，需要了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形才能得出正确答案．