Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(-4，0),B（1，0),交y轴于C点，且OC=2OB.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线BC上找点D，使△ABD为以AB为腰的等腰三角形，求D点的坐标；

（3）在抛物线上是否存在异于B的点P，过P点作PQ⊥AC于Q，使△APQ与△ABC相似？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为；

（2）满足条件的D点有D1 ，D2，D3(1,4)；

（3）满足条件的点P有P和P′

【解析】解：（1）依题意得， ，解得， ，

∴抛物线的解析式为；

（2）①以AD为底时，AB=BD，

设直线BC的解析式为y=kx+b，则，

∴直线BC的解析式为y=2x2，

设D（x，2x2），由（2x2）2+（1x）2=25，解得，

∴D1 ，D2，

②以BD为底时，AB=AD，

B点关于AC的对称点D3（1，4），

综上所述，满足条件的D点有D1 ，D2，D3（1，4）；

∵AC2+BC2=AB2，

∴∠ACB=90°，

当P点在第三象限时，

设（2）中AD3交抛物线于P点，

过P点作PQ⊥AC于Q点，由（2）可知∠BAC=∠PAC，

∠ACB=∠AQP， ∴△APQ∽△ABC，

设直线AP的解析式为y=mx+n，由，解得，

∴直线AP的解析式为，

由，解得， 或（舍去），

∴P；

当P点在第三象限时，

过A点作AP′⊥AD3，交抛物线于P′点，

过P′点作P′Q′⊥AC于Q′点，由（2）可知∠BAC=∠AP′Q′，

∠ACB=∠AQ′P′， ∴△P′AQ′∽△ABC，

易得直线AP′的解析式为，

同（3）过程可求P′，

综上，满足条件的点P有P和P′

此题解法不唯一，请酌情评分．