Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G．
（1）若点D在线段BC上，如图1．

①依题意补全图1；
②判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；
（2）若点D在线段BC的延长线上，且G为CF中点，连接GE，AB= ，则GE的长为 ，并简述求GE长的思路．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：①依题意补全图形，如图1所示，

②BC⊥CG，BC=CG；

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵四边形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，

∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠ABD=45°，

∴∠ACF+∠ACB=90°，

∴BC⊥CG；

∵点G是BA延长线上的点，

BC=CG

（2）

如图2，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵四边形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAC=∠BAD﹣∠DAC=90°，

∠DAF=∠CAF﹣∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠ABD=45°，BD=CF，

∴∠ACF+∠ACB=90°，

∴BC⊥CF；

∵AB= ，BC=CD=CG=GF=2，

∴在Rt△AGH中，根据勾股定理得，AG= ，

∴在Rt△AGH中，根据勾股定理的，DG=2 ，

∵AD= ，

∴AH= ，HG= ，

∴GI=AD﹣HG= ，

∴GE= =

故答案为

【解析】（1）①依题意补全图形，如图1所示，②判断出△BAD≌△CAF即可；（2）先判断出△BAD≌△CAF，得到BD=CF，BG⊥CF，得到直角三角形，利用勾股定理计算即可．