Question

【题目】（问题）
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF=90°，点D在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．

（探究发现）
（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP=DB，请写出证明过程；
（数学思考）
（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP=DB，请完成证明过程；
（拓展引申）
（3）如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、B），N是射线BD上一点，且AM=BN，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大．若AC=BC=4，请你直接写出BQ的最大值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2．

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性质可得∠CAB=∠CBA=45°，由平行线的性质可得∠CBA=∠DCB=45°，即可证DB=DP；
【数学思考】
（2）通过证明△CDP≌△GDB，可得DP=DB
【拓展引申】
（3）过点M作MH⊥MN交AC于点H，通过证明△AMH≌△BNQ，可得AH=BQ，通过证明△ACM∽△BMQ，可得，可得BQ=+2，由二次函数的性质可求BQ的最大值．

（1）∵∠ACB=90°，AC=BC
∴∠CAB=∠CBA=45°
∵CD∥AB
∴∠CBA=∠DCB=45°，且BD⊥CD
∴∠DCB=∠DBC=45°
∴DB=DC
即DB=DP
【数学思考】
（2）∵DG⊥CD，∠DCB=45°
∴∠DCG=∠DGC=45°
∴DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°，
∵∠BDP=∠CDG=90°
∴∠CDP=∠BDG，且DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°，
∴△CDP≌△GDB（ASA）
∴DB=DP
【拓展引申】
（3）如图4，过点M作MH⊥MN交AC于点H，连接CM，HQ，

∵MH⊥MN，
∴∠AMH+∠NMB=90°
∵CD∥AB，∠CDB=90°
∴∠DBM=90°
∴∠NMB+∠MNB=90°
∴∠HMA=∠MNB，且AM=BN，∠CAB=∠CBN=45°
∴△AMH≌△BNQ（ASA）
∴AH=BQ
∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴AB=4，AC-AH=BC-BQ
∴CH=CQ
∴∠CHQ=∠CQH=45°=∠CAB
∴HQ∥AB
∴∠HQM=∠QMB
∵∠ACB=∠HMQ=90°
∴点H，点M，点Q，点C四点共圆，
∴∠HCM=∠HQM
∴∠HCM=∠QMB，且∠A=∠CBA=45°
∴△ACM∽△BMQ
∴
∴
∴BQ=+2
∴AM=2时，BQ有最大值为2．