Question

【题目】探究题
（1）问题发现
如图1，△ABC和△BDE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接CD．填空；

①CDB的度数为；
②线段AE，CD之间的数量关系为 ．
（2）拓展探究
如图2，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，点A，D，E在同一直线上，BF为△DBE中DE边上的高，连接CD．
①求∠CDB的大小；
②请判断线段BF，AD，CD之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，AC=2 ，AE=1，CE⊥AE于E，请补全图形，求点B到CE的距离．

Answer 1

【答案】
（1）60°；AE=CD
（2）

解：∠CDB=45°，CD=AD+2BF

理由：∵△ACB和△DBE均为等腰直角三角形，

∴BA=CB，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°．

∴∠ABE=∠CBD．

在△BCD和△BAE中，

∵AB=BC，∠ABE=∠CBD，BD=BE，

∴△BCD≌△BAE（SAS），

∴∠CDB=∠AEB，CD=AE

∵BF是△DBE均为等腰直角三角形，

∴∠CDB=∠AEB=45，DE=2BF，

∴CD=AE=AD+DE=AD+2BF．

∴∠CDB=45°，CD=AD+2BF

（3）

解：①如图，

连接EB，ED，作BH⊥CE，BP⊥BE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAC=45°，AB=AD=CD=BC=2，∠ABC=90°，

∴CD=2，

∴AC=2 ，

∵AE=1，

∴CE= ，

∵A，E，B，C四点共圆，

∴∠BCE=∠CAB=45°，

∴△PBE是等腰直角三角形，

∵△ABC是等腰直角三角形，且C，E，P共线，BH⊥CE，

∴由（2）的结论可得，CE=AE+2BH，

∴ =2BH+1，

∴BH= ．

②同①的方法可得，CE=2BH﹣AE，

∴ =2BH﹣1，

∴BH= ，

∴点B到CE的距离为 或

【解析】解：（1）①∵△ACB和△DBE均为等边三角形，
∴BA=CB，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°．
∴∠ABE=∠CBD．
在△BCD和△BAE中，
∵AB=BC，∠ABE=∠CBD，BD=BE，
∴△BCD≌△BAE（SAS），
∴∠CDB=∠BEA．
∵△DBE为等边三角形，
∴∠CDB=∠BED=60°．
所以答案是：60°．
②∵△BCD≌△BAE，
∴CD=AE，
所以答案是：CD=AE，
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰三角形的性质的相关知识，掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．