Question

【题目】已知，在平面直角从标系中，A点坐标为（0，4），B点坐标为（2，0），C（m，6）为反比例函数y=图象上一点．将△AOB绕B点旋转至△A′O′B处．

（1）求m的值；

（2）若O′落在OC上，连接AA′交OC与D点．①求证：四边形ACA′O′为平行四边形； ②求CD的长度；

（3）直接写出当AO′最短和最长时A′点的坐标．

Answer 1

【答案】(1)；(2)①证明详见解析；②﹣1；(3) 当AO′最短时A′点的坐标（，），当AO′最长时A′点的坐标（，）．

【解析】

试题分析：（1）只需把点C的坐标代入反比例函数的解析式，就可解决问题；

（2）①过点C作CH⊥y轴与H，如图1，易证AC=OA=O′A′，要证四边形ACA′O′为平行四边形，只需证AC∥O′A′，只需证∠ACO=∠A′O′C即可；

②由平行四边形ACA′O′可得CD=CO′，要求CD，只需求CO′，只需求出OC及OO′即可；

（3）根据两点之间线段最短可知：当点O′在线段AB上时AO′最短（如图2），当点O′在线段AB的延长线上时AO′最长（如图3）；过点O′作O′N⊥x轴于N，过点A′作A′M⊥O′N于M，易证△BNO′∽△BOA，△A′MO′∽△O′NB，然后只需运用相似三角形的性质即可解决问题．

试题解析：（1）∵C（m，6）为反比例函数y=图象上一点，

∴m==；

（2）①过点C作CH⊥y轴与H，如图1．

∵点C的坐标为（，6），

∴CH=，OH=6，

∴tan∠COH=，AC==4，

∴∠COH=30°，OA=AC，

∴∠BOO′=60°，∠ACO=∠AOC=30°．

∵BO′=BO，

∴∠BO′O=∠BOO′=60°．

∵∠A′O′B=∠AOB=90°，

∴∠CO′A′=30°，

∴∠ACO=∠CO′A′，

∴AC∥O′A′．

又∵O′A′=OA=AC，

∴四边形ACA′O′为平行四边形；

②∵BO′=BO，∠BOO′=60°，

∴△BOB′是等边三角形，

∴OO′=OB=2．

∵∠CHO=90°，CH=，OH=6，

∴OC=，

∴CO′=OC﹣OO′=﹣2．

∵四边形ACA′O′为平行四边形，

∴CD=O′D=CO′=﹣1；

（3）当AO′最短时A′点的坐标（，），当AO′最长时A′点的坐标（，）．

提示：①当点O′在线段AB上时，AO′最短，

过点O′作O′N⊥x轴于N，过点A′作A′M⊥O′N于M，如图2．

∵O′N∥OA，

∴△BNO′∽△BOA，

∴，

∴，

∴BN=，O′N=．

∵∠A′MO′=∠A′O′B=∠O′NB=90°，

∴∠MA′O′=∠NO′B，

∴△A′MO′∽△O′NB，

∴==2，

∴=，=，

∴A′（，）即（，）；

②当点O′在线段AB延长线上时，AO′最长，

过点O′作O′N⊥x轴于N，过点A′作A′M⊥O′N于M，如图3．

同理可得：A′（，）．