Question

【题目】（1）探究：如图1和2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．

①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能证得EF=BE+DF，请写出推理过程；

②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系 时，仍有EF=BE+DF；

（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）①理由详见解析；②∠B+∠ADC=180°；（2）．

【解析】

试题分析：（1）①把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；

②把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；

（2）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，证明△AFE≌△AFG（SAS），则EF=FG，∠C=∠ABF=45°，△BDF是直角三角形，根据勾股定理得到BD2+CE2=DE2

，由∠BAC=90°，AB=AC=2，知BC=4，所以DC=3，EC=3﹣DE，代入解方程即可．

试题解析：解：（1）①理由是：如图1，

∵AB=AD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1，

∵∠ADC=∠B=90°，

∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，

则∠DAG=∠BAE，AE=AG，

∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°﹣45°=45°=∠EAF，

即∠EAF=∠FAG，

在△EAF和△GAF中，AF=AF，∠EAF=∠FAG，AE=AG，

∴△AFG≌△AFE（SAS），

∴EF=FG=BE+DF；

②当∠B+∠ADC=180°时，EF=BE+DF；

∵AB=AD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2，

∴∠BAE=∠DAG，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠EAF=∠FAG，

∵∠ADC+∠B=180°，

∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，

在△AFE和△AFG中，AF=AF，∠EAF=∠FAG，AE=AG，

∴△AFE≌△AFG（SAS），

∴EF=FG，

即：EF=BE+DF，

故答案为：∠B+∠ADC=180°；

（2）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，则∠FAB=∠CAE．

∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，

∴∠BAD+∠CAE=45°，

又∵∠FAB=∠CAE，

∴∠FAD=∠DAE=45°，

则在△ADF和△ADE中，AD=AD，∠FAD=∠DAE，AF=AE，

∴△ADF≌△ADE，

∴DF=DE，∠C=∠ABF=45°，

∴∠BDF=90°，

∴△BDF是直角三角形

∴BD2+BF2=DF2，

∴BD2+CE2=DE2．

∵∠BAC=90°，AB=AC=2，

∴BC=4，

∵BD=1，

∴DC=3，EC=3﹣DE，

∴1+（3﹣DE）2=DE2，

解得：DE=．