Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l：yx+3交y轴于点A，x轴于点B，∠BAO的角平分线AC交x轴于点C，过点C作直线AB的垂线，交y轴于点D．

（1）求直线CD的解析式；

（2）如图2，若点M为直线CD上的一个动点，过点M作MN∥y轴，交直线AB与点N，当四边形AMND为菱形时，求△ACM的面积；

（3）如图3，点P为x轴上的一个动点连接PA、PD，将△ADP沿DP翻折得到△A1DP，当以点A、A1、B为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）yx﹣3;（2）;（3）点P的坐标为（，0），（﹣6﹣3），（3，0），（6﹣3，0）．

【解析】

（1）分别令x、y为0，建立方程可求得A、B的坐标，并由tan∠BAO=，求得∠BAO=60°，由AC平分∠BAO求得C的坐标，再应用两条直线垂直时，k1k2=-1，就可以求得CD的解析式；

（2）根据菱形对角线互相垂直平分这一性质，可以确定点M的坐标，易求出△ACM的面积；

（3）△AA1B为等腰三角形，分三种情况：①AA1=AB，证明△ADA1是等边三角形解决问题．②A1B=AB．过A1作A1H⊥y轴于H，易证△A1AH≌△APO（AAS），利用全等三角形性质解决问题即可．③AA1=A1B．若点P在x负半轴上，不存在A1B=AB，若点P在x正半轴上，点P与点B重合时，A1B=AB．

（1）如图1，

在yx+3中，令x＝0，得y＝3，

∴A（0，3），

令y＝0得0x+3，解得x＝3，

∴B（3，0），

在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，

∴∠BAO＝60°，

∵AC平分∠BAO，

∴∠CAO∠BAO＝30°

∴OC

∴C（，0）

∵CD⊥AB

∴∠ODC＝90°﹣∠BAO＝90°﹣60°＝30°

在Rt△COD中，∠COD＝90°，

∴OD=3

∴D（0，﹣3）

设直线CD解析式为y＝kx+b，将C（，0），D（0，﹣3）代入得

，解得

∴直线CD的解析式为yx﹣3．

（2）如图2，

令CD与AB交于点E，∵四边形AMND是菱形，

∴AE＝NE DE＝ME

解方程组得，

∴E（，），

设M（t，t﹣3），则，，∴t＝3

∴M（，6），

在Rt△ADE中，cos∠ODC，sin∠ODC

∴DE＝AD×cos∠ODC＝6cos30°＝3，AE＝ADsin∠ODC＝6sin30°＝3

∴

在Rt△ODC中，∠ODC＝30°，∴CD＝2OC＝2

∴CE＝DE﹣CD＝32

∴CM＝CE+ME4，

∴S△ACM．

（3）如图3，

△AA1B为等腰三角形，分三种情况：

①AA1＝AB，

由翻折知：A1D＝AD＝6，A1P＝AP，∠ADP＝∠A1DP，

∵∠ABO＝90°﹣∠BAO＝90°﹣60°＝30°，

∴AB＝2AO＝2×3＝6

∴AA1＝A1D＝AD

∴△AA1D是等边三角形

∴∠A1DA＝60°，

∴∠ADP＝30°，在Rt△PDO中，tan∠ADP

∴OP＝OD×tan∠ADP＝3tan30°

∴

②AA1＝A1B

∴A1在线段AB垂直平分线，

易证直线CD垂直平分线段AB

∴点A1落在直线CD上

由翻折知：A1D＝AD＝6，A1P＝AP，∠ADP＝∠A1DP，

∵∠ADC＝30°，

∴∠ADP＝∠A1DP＝75°，∠DPO＝90°﹣∠ADP＝90°﹣75°＝15°，

∵OA＝OD，PO⊥AD

∴∠APO＝∠DPO＝15°，

∴∠APD＝∠A1PD＝30°

∴∠A1PA＝60°

∴△A1PA是等边三角形

∴AP＝A1A

过A1作A1H⊥y轴于H，易证△A1AH≌△APO（AAS）

A1H＝AO＝3，AH＝OP

点A1B的横坐标为﹣3，将x＝﹣3代入直线CD的解析式为yx﹣3中，得y＝﹣33，

∴OH＝33，OP＝AH＝AO+OH＝3+33＝6+3，

∴P（﹣6﹣3，0）

③A1B＝AB

若点P在x负半轴上，不存在A1B＝AB，

若点P在x正半轴上，点P与点B重合时，A1B＝AB

∴P（3，0），

④如图5中，当AA′＝A′B时，易证DP平分∠ODC，可得P（6﹣3，0）

综上所述，点P的坐标为（，0），（﹣6﹣3），（3，0），（6﹣3，0）．