Question

【题目】如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点（2，2），（1， ）在抛物线上，点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点，过P作PA⊥x轴于A，PC⊥y轴于C，延长PC交抛物线于E，设M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点．

（1）求抛物线的解析式及顶点N的坐标；
（2）求证：四边形PMDA是平行四边形；
（3）求证：△DPE∽△PAM，并求出当它们的相似比为 时的点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线的对称轴是y轴，

∴可设抛物线解析式为y=ax2+c，

∵点（2，2），（1， ）在抛物线上，

∴ ，解得 ，

∴抛物线解析式为y= x2+1，

∴N点坐标为（0，1）

（2）

证明：设P（t， t2+1），则C（0， t2+1），PA= t2+1，

∵M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点，且N（0，1），

∴M（0，2），

∵OC= t2+1，ON=1，

∴DM=CN= t2+1﹣1= t2，

∴OD= t2﹣1，

∴D（0，﹣ t2+1），

∴DM=2﹣（﹣ t2+1）= t2+1=PA，且PM∥DM，

∴四边形PMDA为平行四边形

（3）

解：同（2）设P（t， t2+1），则C（0， t2+1），PA= t2+1，PC=|t|，

∵M（0，2），

∴CM= t2+1﹣2= t2﹣1，

在Rt△PMC中，由勾股定理可得PM= = = = t2+1=PA，且四边形PMDA为平行四边形，

∴四边形PMDA为菱形，

∴∠APM=∠ADM=2∠PDM，

∵PE⊥y轴，且抛物线对称轴为y轴，

∴DP=DE，且∠PDE=2∠PDM，

∴∠PDE=∠APM，且 = ，

∴△DPE∽△PAM；

∵OA=|t|，OM=2，

∴AM= ，且PE=2PC=2|t|，

当相似比为 时，则 = ，即 = ，解得t=2 或t=﹣2 ，

∴P点坐标为（2 ，4）或（﹣2 ，4）

【解析】（1）由已知点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式，可求得其顶点N的坐标；（2）设P点横坐标为t，则可表示出C、D、M、A的坐标，从而可表示出PA和DM的长，由PA=DM可证得结论；（3）设P点横坐标为t，在Rt△PCM中，可表示出PM，可求得PM=PA，可知四边形PMDA为菱形，由菱形的性质和抛物线的对称性可得∠PDE=∠APM，可证得结论，在Rt△AOM中，用t表示出AM的长，再表示出PE的长，由相似比为 可得到关于t的方程，可求得t的值，可求得P点坐标．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用菱形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半．