Question

【题目】四边形ABCD的对角线交于点E，有AE=EC，BE=ED，以AB为直径的⊙O过点E．
（1）求证：四边形ABCD的是菱形；
（2）若CD的延长线与圆相切于点F，已知直径AB=4，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：

∵AE=CE，BE=ED，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB为直径，

∴∠AEB=90°，

即AC⊥BD，

∴四边形ABCD是菱形

（2）解：连接OF，

∵CF为⊙O的切线，

∴∠OFC=90°，

∵AB=4，

∴OA=OB=2，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD=4，

过D作DH⊥AB于H，

则DH=OF=2，

∠DAH=30°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠DAC=∠BAC=15°，

∴∠BOE=2∠BAC=30°，

∴S扇形BOE= = ，S△AOE= =1，

∴S阴影=S半圆O﹣S△AOE﹣S扇形BOE= ﹣1﹣ = π﹣1

【解析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的判定得出即可；（2）连接OF，过D作DH⊥AB于H，分别求出扇形BOE、△AOE、半圆O的面积，即可得出答案．