Question

【题目】在等腰△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．

（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，求∠BCE的度数；

（2）如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC=60°，则∠BCE的度数；

（3）设∠BAC=α，∠BCE=β，如图3，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；

Answer 1

【答案】(1)90°;(2)120°;(3)见解析.

【解析】

（1）证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到∠B=∠ACE，即可求解；

（2）根据全等三角形的性质得到∠ACE=∠B=60°，计算即可求解；

（3）根据三角形的内角和的性质分三种情况讨论即可求解.

解：（1）90°．

理由：∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．

即∠BAD=∠CAE．

在△ABD与△ACE中，

AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠B=∠ACE．

∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，

∴∠BCE=∠B+∠ACB，

又∵∠BAC=90°

∴∠BCE=90°；

（2）∵∠BAC=60°，

∴∠DAE=∠BAC=60°，

∵AB=AC,AD=AE,

∴∠B=∠ACB=60°，∠ADE=∠AED=60°，

由（1）可得∠B=∠ACE=60°，

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°.

（3）①α+β=180°，

理由：∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC．

即∠BAD=∠CAE．

在△ABD与△ACE中，

AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠B=∠ACE．

∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．

∴∠B+∠ACB=β，

∵α+∠B+∠ACB=180°，

∴α+β=180°；

②当点D在射线BC上时，α+β=180°；

理由：∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD=∠CAE，

∵在△ABD和△ACE中

AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，

∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°，

∴α+β=180°；

当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．

理由：∵∠DAE=∠BAC，

∴∠DAB=∠EAC，

∵在△ADB和△AEC中，

AD=AE，∠DAB=∠EAC，AB=AC

∴△ADB≌△AEC（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，

∴∠BAC=∠BCE，

即α=β．