Question

【题目】如图1，ABCD为正方形，将正方形的边CB绕点C顺时针旋转到CE，记∠BCE=α，连接BE，DE，过点C作CF⊥DE于F，交直线BE于H．

（1）当α=60°时，如图1，则∠BHC= ；

（2）当45°＜α＜90°，如图2，线段BH、EH、CH之间存在一种特定的数量关系，请你通过探究，写出这个关系式： （不需证明）；

（3）当90°＜α＜180°，其它条件不变（如图3），（2）中的关系式是否还成立？若成立，说明理由；若不成立，写出你认为成立的结论，并简要证明．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）BH+EH=CH；（3）不成立，BH﹣EH=CH．

【解析】试题分析：（1）作CG⊥BH于G，由正方形的性质和旋转的性质得出∠BCE=α=60°，CB=CD=CE，由等腰三角形的性质得出∠BCG=∠ECG=∠BCE=30°，∠ECF=∠DCF=∠DCE，求出∠GCH=（∠BCE+∠DCE）=45°即可；

（2）作CG⊥BH于G，同（1）得：∠BHC=45°，△CGH是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出CH=GH，由等腰三角形的性质得出BG=EG=BE，即可得出结论；

（3）作CG⊥BH于G，同（2）得：∠BHC=45°，△CGH是等腰直角三角形，CH=GH，BG=EG=BE，即可得出结论．

试题解析：解：（1）作CG⊥BH于G，如图1所示：

∵四边形ABCD是正方形，∴CB=CD，∠BCD=90°，由旋转的性质得：CE=CB，∠BCE=α=60°，∴CD=CE，∠BCG=∠ECG=∠BCE=30°．∵CF⊥DE，∴∠ECF=∠DCF=∠DCE，∴∠GCH=（∠BCE+∠DCE）=×90°=45°；故答案为：45°；

（2）BH+EH=CH。理由如下：

作CG⊥BH于G，如图2所示：

同（1）得：∠BHC=45°，∴△CGH是等腰直角三角形，∴CH=GH．∵CB=CE，CG⊥BE，∴BG=EG=BE，∴BH+EH=BG+EG+EH+EH=2GH=CH；

故答案为：BH+EH=CH；

（3）当90°＜α＜180°，其它条件不变，（2）中的关系式不成立，BH﹣EH=CH；理由如下：

作CG⊥BH于G，如图3所示：

同（2）得：∠BHC=45°，△CGH是等腰直角三角形，CH=GH，BG=EG=BE，∴BH﹣EH=BG+GH﹣EH=BG+EG﹣EH﹣EH=2GH=CH．